デイトレード

デルタの定義

デルタの定義
変異株 オミクロンOMICRON B.1.1.529 SARS-CoV-2"

複素数の導入に含まれる問題

虚数単位 \(i\) は通常二次方程式 デルタの定義 \[\label x^2+1=0\] の相異なる \(2\) 解の \(1\) つとして定義され,複素数は \(1\) と \(i\) の線型結合として定義される.しかし,そもそも「解」というのは何かということが問題になってくる.「複素数」というくらいだから数でなければならないはずであるが複素数を「知らない」段階では数とは当然実数のことである.とすれば,虚数単位 \(i\) を「 \(2\) 乗すると \(-1\) になる‘実数’」として定義してしまっていることになっているのではないか.(そのような実数など存在しない.)このままでは虚数を用いて証明される実数の性質(恒等式など)であっても「虚数は存在しない」という一言で否定することができてしまうような気さえする.

今回は本問題を解決するため,[虚数]を二次正方行列の行列方程式 \[X^2+E=0\] と読み替え,( \(E\) は単位行列とした.)解の一つとして虚数単位を定義する立場から複素数の諸性質と複素関数の微分積分を考えることにする.ついでにコーシーの積分定理の証明(グリーンの定理や微小三角形を用いるもの)にも不満があって書いている途中にパラメータ積分として証明できることをたまたま思いついたのでその証明も残した.(が,よく考えると結局無理だった.)あと微分方程式やテイラー展開を使わずにオイラーの公式を導いた.複素数がテーマなので,行列版代数学の基本定理を示すことまでを目標とする.

複素数の定義

\(a,b\in<\mathbb>\) に対し, \[aE+bI\] をと呼ぶ.ただし, \(E\) は二次正方単位行列, \(I\) は \(2\) 乗すると \(-E\) になる行列の一つとする.ここでは簡単のため \[I= \begin 0 & -1 \\ デルタの定義 1 & 0 \\ \end\] として考える.すなわち \[aE+bI= a\begin 1 & 0 \\ 0 & 1\\ \end+b \begin 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end デルタの定義 =\begin a & -b \\ b & a \\ \end\] という“行列”を複素数と呼ぶことにするのである.

定義の由来

回転行列 デルタの定義 \[R_=\begin[r] \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end\] を考える.いま \[-E=R_<\pi>\] より, \(2\) 乗すると \(-E\) になる行列として \[I=R_<\frac<\pi>>=\begin 0&-1\\ 1&0 \end\] を考えるのが自然であるような気がする.この方法で複素数を構成すると \[R_=E+I\] となり,複素数平面としてのイメージがしやすくなるという利点がある.

\(I\) と \(E\) が一次独立であるようにするため \[I=\begin 0&b\\ c&0 \end\] と仮におくと \[I^2=bcE\] より \(bc=-1\) でなければならない. \(b,c\in\mathbb\) として \[(b,c)=(1,-1),(-1,1)\] である.後者を \(I\) とおけば,前者は \(-I\) で表せる.この解釈においても \[I=\begin 0&-1\\ 1&0 \end\] である.

複素数の性質

以後複素数の集合を \(\mathbb\) と呼ぶことにする. \(\mathbb\in M_2\l(\mathbb\r)\) である.ここで \(M_2\l(\mathbb\r)\) は実二次正方行列の集合とした.複素数の加減乗法は行列のものを用いて定義する. \(\mathbb\) には乗法の単位元 \(E\) ,零元 \(O\) , \(O\) でない元 \(A\) に対する逆元 \(A^\) の存在,乗法の可換性から \(\mathbb\) は体である.

\(\forall A,B\in \mathbb\ AB=BA\)

\(\sqrt=\sqrt\) を \(A\) の絶対値と呼ぶことにして,ここだけの記号として \(\l|A\r|\) ( \(\det A\) と区別することに注意)と表すことにする.

複素数の微分

行列の微分公式

オイラーの公式

写像 デルタの定義 \(\exp : \mathbb \to \mathbb\) ;微分可能 を以下を満たす写像として定義する. 写像 \(\exp\) が存在しかつ一通りに定まる,すなわち \(\forall デルタの定義 デルタの定義 r,\theta \in \mathbb\) に対して \[\exp \l(rE+\theta I\r) =e^r \begin \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end =e^r R_=e^r \l(E\cos \theta +I\sin \theta \r)\] であることを示す.これは有名なオイラーの公式の行列表記である. (1)によって を示せば十分である.

その他の関数の拡張

複素数の積分

複素数の積分を以下で定義する. \[\int_^<> f\l(デルタの定義 Z\r) \, dZ \equiv \lim_ \sum_^ f\l(Z_\r) \Delta Z_k\] ただし \(\Delta デルタの定義 デルタの定義 Z_k=Z_-Z_\) とする.

コーシーの積分定理

\[\oint_ f\l(Z\r) \, dZ=O\] コーシーの積分定理により積分の値が経路によらないことを示すことができる. 行列の置換積分を示したい.以降簡単のため複素数 \(A\) の逆行列を \(デルタの定義 \drac\) のように簡略化して表すことにする.

コーシーの積分公式

\(Z=xE+yI+A,x=\cos \theta ,y=\sin \theta\) とパラメータ表示することで \(C\) を中心 \(A\) デルタの定義 の円周上の経路として \[\oint_^<> \l(Z-A\r) ^\, dZ=2\pi I\] がわかる.よって \[\oint_^<> f\l(Z\r) \l(Z-A\r) ^\, dZ = \oint_ \left\< f\l(Z\r) -f\l(A\r) \right\>\l(Z-A\r) ^\, dZ+2\pi If\l(A\r)\] であり第一項は \(C\) の半径 \(\rho\) として \(C\) 上において \(\l|f\l(Z\r) -f\l(A\r) \r| <\e\) とすると \[\l|\oint_\left\< f\l(Z\r) -f\l(A\r) \right\>\l(Z-A\r) ^\, dZ\r| \leq \oint_ \drac\e \, dZ=2\pi \rho\drac\e=2\pi \e\] であり, \(\e \to 0\) で \(2\pi \e \to 0\) になるので示す等式が得られた.

新型コロナ変異株「オミクロン株」まとめ

オミクロン omicron

変異株 オミクロンOMICRON デルタの定義 B.1.1.529 SARS-CoV-2"

こんにちは。
ヘルスケア・アドバイザーの前田 義徳(マエダ ヨシノリ)です。

新しい変異株の発見までの経緯

オミクロン株の発見からWHOが命名するまでの経緯をまとめると、次の通りとなります。
① 2021年11月11日、「ボツワナ」の64歳男性から採取した検体から、インペリアル・カレッジ・ロンドンのウイルス学者トム・ピーコック博士が新しい亜種(B.1.デルタの定義 1.529)を発見。
② 11月13日、「南アフリカ」の68歳男性から採取された検体からも検出。
③ それ以降、「南アフリカ」において32歳女性、16歳男性と、幅広い年齢層で検出。
④ 南アフリカの新規感染株は、従来のデルタ株から「B.1.1.529」に置き換わった。
⑤ 11月26日、ECDCはこの亜種(B.1.1.デルタの定義 529)をデルタ株と比較し、免疫逃避と潜在的な伝達性の増加の懸念から「懸念される亜種(VOC)」に分類。同時にWHOもVOCに分類し、ギリシア文字「オミクロン」というラベルを付けた。

国または地域検出総数オミクロン株検体
南アフリカ249172
ボツワナ9919
ガーナ5333
ケニア30
メイヨット150
ナイジェリア10
コンゴ81
ラ・レユニオン861
セネガル40
表1

感染力は強いのか?

オミクロン株と他の変異株との比較

デルタの定義デルタの定義
アルファ株
(B.1.1.7)
デルタ株
(B.デルタの定義 1.617.2)
オミクロン株
(B.1.1.529)
1 D614G D614G D614G
2 P681H P681R E484A
3 Y144- L452R P681H
4N501YT478K Y144-
5 H69- D950NN501Y
6 V70- T19R H69-
7D1118H E156- V70-
8A570D F157- K417N
9T716IR158GT95I
10S982A T478K
11 H655Y
12 S477N
13 Y145D
14 A67V
15 G142-
16 V143-
17 N211-
18 L212I
19 G339D
20 S371L
21 S373P
22 S375F
23 N440K
24 G446S
25 Q493R
26 G496S
27 Q498R
28 Y505H
29 T547K
30 N679K
31 N764K
32 D796Y
33 N856K
34 Q954H
35 N969K
36 L981F
表2 デルタの定義 デルタ株のスパイク オミクロン株のスパイク

  • シンガポール: デルタ株変異種AY.23
  • イギリス: デルタ株変異種AY.4.2、AY.25、AY.30、AY.33
  • ドイツ:デルタ株変異種AY.4.2、AY.25、AY.30、AY.33
  • 中国:デルタ株変異種AY.23、AY.25、AY.37、AY.4.2
  • アメリカ:デルタ株変異種AY.25

感染しているのはデルタ株か?オミクロン株か?の判断

オミクロン株の感染力(伝染性)は?

オミクロン株による重症度は?

12月6日時点、複数の大学や研究所によると、オミクロン株による症状は、無症状か一般的な風邪の症状と同程度(軽度の症状)と発表しています。( 12月6日時点 、重症ゼロ、死亡者ゼロ)

オミクロン株は、デルタ株による感染を超えるのか?

  • 変異株は、発見されてからおおよそ4カ月後に50%を超え、その後、徐々に新たな変異株に置き換わっていく
  • 2021年4月~6月においては、オリジナル(武漢型)からデルタ株まで、全ての変異株が存在しており、その後、デルタ株に置き換わり現在に至っている
  • 12月6日時点、デルタ株94%、オミクロン株3%、その他3%という状況である

デルタ株をいつ超えるのか?

  • 新型コロナウイルス感染のうち、オミクロン株が占める「現在の割合」
  • デルタ株に対するオミクロン株の相対的な成長の優位性(デルタ株に対する成長の増加率と定義します)デルタの定義

オミクロン株の現在の割合デルタ株に対する優位性オミクロン株が50%を超える予想月日
1%>120%2022年1月1日
0.1%>230%2022年1月1日
0.01%>390%2022年1月1日
1%>30%2022年3月1日
0.1%>50% 2022年3月1日
0.01%>70% 2022年3月1日
1%>15%2022年5月1日
0.1%>25% 2022年5月1日
0.01%>45% 2022年5月1日
Euro CDC 発表資料より作成

ワクチンの効果は?

新しいワクチンは、いつ頃提供可能なのか?

現在使用されているmRNA ワクチンの開発、製造、出荷をベースに考えると、開発は1日、製造基盤構築2~3か月、臨床試験(第1~3相) 3~4か月 、申請・承認(3~4か月)の過程を踏まえると、2022年10月~11月に出荷と予測できます。

複素数の導入に含まれる問題

虚数単位 \(i\) は通常二次方程式 \[\label x^2+1=0\] の相異なる \(2\) 解の \(1\) つとして定義され,複素数は \(1\) と \(i\) の線型結合として定義される.しかし,そもそも「解」というのは何かということが問題になってくる.「複素数」というくらいだから数でなければならないはずであるが複素数を「知らない」段階では数とは当然実数のことである.とすれば,虚数単位 \(i\) を「 \(2\) 乗すると \(-1\) になる‘実数’」として定義してしまっていることになっているのではないか.(そのような実数など存在しない.)このままでは虚数を用いて証明される実数の性質(恒等式など)であっても「虚数は存在しない」という一言で否定することができてしまうような気さえする.

今回は本問題を解決するため,[虚数]を二次正方行列の行列方程式 \[X^2+E=0\] と読み替え,( \(E\) は単位行列とした.)解の一つとして虚数単位を定義する立場から複素数の諸性質と複素関数の微分積分を考えることにする.ついでにコーシーの積分定理の証明(グリーンの定理や微小三角形を用いるもの)にも不満があって書いている途中にパラメータ積分として証明できることをたまたま思いついたのでその証明も残した.(が,よく考えると結局無理だった.)あと微分方程式やテイラー展開を使わずにオイラーの公式を導いた.複素数がテーマなので,行列版代数学の基本定理を示すことまでを目標とする.

複素数の定義

\(a,b\in<\mathbb>\) に対し, \[aE+bI\] をと呼ぶ.ただし, \(E\) デルタの定義 は二次正方単位行列, \(I\) は \(2\) 乗すると \(-E\) になる行列の一つとする.ここでは簡単のため \[I= \begin デルタの定義 デルタの定義 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end\] として考える.すなわち \[aE+bI= a\begin 1 & 0 \\ 0 & 1\\ \end+b \begin 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end =\begin a & -b \\ b & a \\ \end\] という“行列”を複素数と呼ぶことにするのである.

定義の由来

回転行列 \[R_=\begin[r] \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end\] を考える.いま デルタの定義 \[-E=R_<\pi>\] より, \(2\) 乗すると \(-E\) になる行列として \[I=R_<\frac<\pi>>=\begin 0&-1\\ 1&0 \end\] デルタの定義 を考えるのが自然であるような気がする.この方法で複素数を構成すると \[R_=E+I\] となり,複素数平面としてのイメージがしやすくなるという利点がある.

\(I\) と \(E\) が一次独立であるようにするため \[I=\begin 0&b\\ c&0 \end\] と仮におくと デルタの定義 \[I^2=bcE\] より \(bc=-1\) でなければならない. \(b,c\in\mathbb\) として \[(b,c)=(1,-1),(-1,1)\] である.後者を \(I\) とおけば,前者は \(-I\) で表せる.この解釈においても \[I=\begin 0&-1\\ 1&0 デルタの定義 デルタの定義 \end\] である.

複素数の性質

以後複素数の集合を \(\mathbb\) と呼ぶことにする. \(\mathbb\in M_2\l(\mathbb\r)\) である.ここで \(M_2\l(\mathbb\r)\) は実二次正方行列の集合とした.複素数の加減乗法は行列のものを用いて定義する. \(\mathbb\) には乗法の単位元 \(E\) ,零元 \(O\) , \(O\) でない元 \(A\) に対する逆元 \(A^\) の存在,乗法の可換性から \(\mathbb\) は体である.

\(\forall デルタの定義 A,B\in \mathbb\ AB=BA\)

\(\sqrt=\sqrt\) を \(A\) の絶対値と呼ぶことにして,ここだけの記号として \(\l|A\r|\) ( \(\det A\) と区別することに注意)と表すことにする.

複素数の微分

行列の微分公式

オイラーの公式

写像 \(\exp : \mathbb \to \mathbb\) ;微分可能 を以下を満たす写像として定義する. 写像 \(\exp\) が存在しかつ一通りに定まる,すなわち \(\forall r,\theta \in \mathbb\) に対して \[\exp \l(rE+\theta I\r) =e^r \begin \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos デルタの定義 \theta \end =e^r R_=e^r \l(E\cos \theta +I\sin \theta \r)\] であることを示す.これは有名なオイラーの公式の行列表記である. (1)によって を示せば十分である.

その他の関数の拡張

複素数の積分

複素数の積分を以下で定義する. \[\int_^<> f\l(Z\r) \, dZ \equiv \lim_ \sum_^ f\l(Z_\r) \Delta デルタの定義 Z_k\] ただし \(\Delta Z_k=Z_-Z_\) とする.

コーシーの積分定理

\[\oint_ f\l(Z\r) \, dZ=O\] コーシーの積分定理により積分の値が経路によらないことを示すことができる. 行列の置換積分を示したい.以降簡単のため複素数 \(A\) の逆行列を \(\drac\) のように簡略化して表すことにする.

コーシーの積分公式

\(Z=xE+yI+A,x=\cos \theta ,y=\sin \theta\) とパラメータ表示することで \(C\) を中心 \(A\) の円周上の経路として \[\oint_^<> \l(Z-A\r) ^\, dZ=2\pi I\] がわかる.よって \[\oint_^<> デルタの定義 f\l(Z\r) \l(Z-A\r) ^\, dZ = \oint_ \left\< f\l(Z\r) -f\l(A\r) \right\>\l(Z-A\r) ^\, dZ+2\pi If\l(A\r)\] であり第一項は \(C\) の半径 \(\rho\) として \(C\) 上において \(\l|f\l(Z\r) -f\l(A\r) \r| <\e\) とすると \[\l|\oint_\left\< f\l(Z\r) -f\l(A\r) \right\>\l(Z-A\r) ^\, dZ\r| \leq \oint_ \drac\e \, dZ=2\pi \rho\drac\e=2\pi \e\] であり, \(\e \to 0\) で \(2\pi \e \to 0\) になるので示す等式が得られた.

オミクロン株 濃厚接触者の定義は?どう判断すれば?企業や学校は

企業からの相談で特に多いのは社員が感染した場合、同じ職場で働くほかの社員について濃厚接触者をどのように判断すべきかという内容です。
保健所の業務がひっ迫し、企業が濃厚接触者の判断を求められるケースが相次いでいますが、保健所に相談したいと電話をしてもつながらず対応に困っているという声が増えているということです。
団体では、自治体のホームページなどに掲載された濃厚接触者の判断基準などに関する周知を案内しています。

東京中小企業家同友会 林隆史事務局長
「中小企業は限られた人員で経営を守りながら濃厚接触者の判断などを同時に行っている状況で、ほんろうされていると感じる。企業に必要な情報を丁寧に伝えていくのが大事だと考えています」

濃厚接触者の判断 学校と教育委員会で

さいたま市教育委員会
「引き続き学校内での感染拡大防止を最優先に、適切に学級閉鎖などの措置を行っていく」

母親 濃厚接触者か判断出ず困惑

母親
「濃厚接触者かどうかすぐにわからず、学級閉鎖がいつまで続くかという判断も出ていないので、会社には見通しを伝えられず困りました」

濃厚接触者の定義は?どう判断

〇期間
感染者がウイルスを排出しなくなる発症後10日たつまでの間。(感染者が無症状の場合は検査のための検体を採取してから7日
〇接触の目安
マスクなどをつけずに感染者に手で触れたり、お互いに手を伸ばしたら届く距離で15分以上接触したりした場合。感染者の体液などがついたものに直接触れた可能性のある場合、など。

・患者と同居、あるいは長時間の接触(車内・航空機など)があった人
・適切な感染防護なしに患者を診察、看護もしくは介護した人
・患者の気道分泌液もしくは体液等の汚染物質に直接触れた可能性が高い人
・その他、手で触れることの出来る距離(目安として1メートル)で、必要な感染予防策(マス クなど)なしで15分以上接触があった人(周辺の環境や接触の状況等個々の状況から患者の感染性を総合的に判断する)

濃厚接触者 待機期間は7日に短縮

厚生労働省では、オミクロン株の潜伏期間などの最新の科学的な知見を踏まえ、1月14日付けで濃厚接触者の自宅などでの待機期間をこれまでの14日から10日間に短縮しました。
さらに1月28日付けで、この期間を7日間に短縮しています。
このため、感染者と最後に接触した日を0日として、7日間は自宅などでの待機が求められることになります。

東京都によりますと、同居している家族が感染した場合は、感染者が入院したり、個室に隔離された状態になった日を、「最後に接触した日」とするとしています。
ただ、感染したのが幼い子どもなどで別室に隔離できない場合は、感染者自身の療養が終わる日が「最後に接触した日」となるということです。
そこから7日間、つまり最大で17日間となります。(※感染者に症状がある場合)

複素数の導入に含まれる問題

虚数単位 \(i\) は通常二次方程式 \[\label x^2+1=0\] の相異なる \(2\) 解の \(1\) つとして定義され,複素数は \(1\) と \(i\) の線型結合として定義される.しかし,そもそも「解」というのは何かということが問題になってくる.「複素数」というくらいだから数でなければならないはずであるが複素数を「知らない」段階では数とは当然実数のことである.とすれば,虚数単位 \(i\) を「 \(2\) 乗すると \(-1\) になる‘実数’」として定義してしまっていることになっているのではないか.(そのような実数など存在しない.)このままでは虚数を用いて証明される実数の性質(恒等式など)であっても「虚数は存在しない」という一言で否定することができてしまうような気さえする.

今回は本問題を解決するため,[虚数]を二次正方行列の行列方程式 \[X^2+E=0\] と読み替え,( \(E\) は単位行列とした.)解の一つとして虚数単位を定義する立場から複素数の諸性質と複素関数の微分積分を考えることにする.ついでにコーシーの積分定理の証明(グリーンの定理や微小三角形を用いるもの)にも不満があって書いている途中にパラメータ積分として証明できることをたまたま思いついたのでその証明も残した.(が,よく考えると結局無理だった.)あと微分方程式やテイラー展開を使わずにオイラーの公式を導いた.複素数がテーマなので,行列版代数学の基本定理を示すことまでを目標とする.

複素数の定義

\(a,b\in<\mathbb>\) に対し, \[aE+bI\] をと呼ぶ.ただし, \(E\) は二次正方単位行列, デルタの定義 \(I\) は \(2\) 乗すると \(-E\) になる行列の一つとする.ここでは簡単のため \[I= \begin 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end\] として考える.すなわち \[aE+bI= a\begin 1 & 0 デルタの定義 デルタの定義 \\ 0 & 1\\ \end+b \begin 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end =\begin a & -b \\ b & a \\ \end\] という“行列”を複素数と呼ぶことにするのである.

定義の由来

回転行列 \[R_=\begin[r] \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end\] を考える.いま \[-E=R_<\pi>\] デルタの定義 デルタの定義 より, \(2\) 乗すると \(-E\) になる行列として \[I=R_<\frac<\pi>>=\begin 0&-1\\ 1&0 \end\] を考えるのが自然であるような気がする.この方法で複素数を構成すると \[R_=E+I\] デルタの定義 となり,複素数平面としてのイメージがしやすくなるという利点がある.

\(I\) と \(E\) が一次独立であるようにするため \[I=\begin 0&b\\ c&0 \end\] と仮におくと \[I^2=bcE\] より \(bc=-1\) でなければならない. \(b,c\in\mathbb\) として \[(b,c)=(1,-1),(-1,1)\] である.後者を \(I\) とおけば,前者は \(-I\) で表せる.この解釈においても \[I=\begin 0&-1\\ 1&0 \end\] デルタの定義 である.

複素数の性質

以後複素数の集合を \(\mathbb\) と呼ぶことにする. \(\mathbb\in M_2\l(\mathbb\r)\) である.ここで \(M_2\l(\mathbb\r)\) は実二次正方行列の集合とした.複素数の加減乗法は行列のものを用いて定義する. \(\mathbb\) には乗法の単位元 \(E\) ,零元 \(O\) , \(O\) デルタの定義 でない元 \(A\) に対する逆元 \(A^\) の存在,乗法の可換性から \(\mathbb\) は体である.

\(\forall A,B\in \mathbb\ AB=BA\)

\(\sqrt=\sqrt\) を \(A\) の絶対値と呼ぶことにして,ここだけの記号として \(\l|A\r|\) ( \(\det A\) と区別することに注意)と表すことにする.

複素数の微分

行列の微分公式

オイラーの公式

写像 \(\exp : \mathbb \to \mathbb\) ;微分可能 を以下を満たす写像として定義する. 写像 \(\exp\) が存在しかつ一通りに定まる,すなわち \(\forall r,\theta \in \mathbb\) に対して \[\exp \l(rE+\theta I\r) =e^r \begin \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta デルタの定義 \end =e^r R_=e^r \l(E\cos \theta +I\sin \theta \r)\] であることを示す.これは有名なオイラーの公式の行列表記である. (1)によって を示せば十分である.

その他の関数の拡張

複素数の積分

複素数の積分を以下で定義する. \[\int_^<> f\l(Z\r) \, dZ \equiv \lim_ \sum_^ f\l(Z_\r) \Delta Z_k\] ただし \(\Delta Z_k=Z_-Z_\) とする.

コーシーの積分定理

\[\oint_ f\l(Z\r) \, dZ=O\] コーシーの積分定理により積分の値が経路によらないことを示すことができる. 行列の置換積分を示したい.以降簡単のため複素数 \(A\) デルタの定義 デルタの定義 デルタの定義 デルタの定義 の逆行列を \(\drac\) のように簡略化して表すことにする.

コーシーの積分公式

\(Z=xE+yI+A,x=\cos \theta ,y=\sin \theta\) とパラメータ表示することで \(C\) を中心 デルタの定義 デルタの定義 \(A\) の円周上の経路として \[\oint_^<> \l(Z-A\r) ^\, dZ=2\pi I\] がわかる.よって \[\oint_^<> f\l(デルタの定義 Z\r) \l(Z-A\r) ^\, dZ = \oint_ \left\< f\l(Z\r) -f\l(A\r) \right\>\l(Z-A\r) ^\, dZ+2\pi If\l(A\r)デルタの定義 \] であり第一項は \(C\) の半径 \(\rho\) として \(C\) 上において \(\l|f\l(デルタの定義 Z\r) -f\l(A\r) \r| <\e\) とすると \[\l|\oint_\left\< f\l(Z\r) -f\l(A\r) \right\>\l(Z-A\r) ^\, dZ\r| \leq \oint_ \drac\e \, dZ=2\pi デルタの定義 \rho\drac\e=2\pi \e\] であり, \(\e \to 0\) で \(2\pi \e \to 0\) になるので示す等式が得られた.

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