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デルタの定義

デルタの定義
さいとう

複素数の導入に含まれる問題

虚数単位 \(i\) は通常二次方程式 \[\label x^2+1=0\] の相異なる \(2\) 解の \(1\) つとして定義され,複素数は \(1\) と \(i\) の線型結合として定義される.しかし,そもそも「解」というのは何かということが問題になってくる.「複素数」というくらいだから数でなければならないはずであるが複素数を「知らない」段階では数とは当然実数のことである.とすれば,虚数単位 \(i\) を「 \(2\) 乗すると \(-1\) になる‘実数’」として定義してしまっていることになっているのではないか.(そのような実数など存在しない.)このままでは虚数を用いて証明される実数の性質(恒等式など)であっても「虚数は存在しない」という一言で否定することができてしまうような気さえする.

今回は本問題を解決するため,[虚数]を二次正方行列の行列方程式 \[X^2+E=0\] と読み替え,( \(デルタの定義 デルタの定義 E\) は単位行列とした.)解の一つとして虚数単位を定義する立場から複素数の諸性質と複素関数の微分積分を考えることにする.ついでにコーシーの積分定理の証明(グリーンの定理や微小三角形を用いるもの)にも不満があって書いている途中にパラメータ積分として証明できることをたまたま思いついたのでその証明も残した.(が,よく考えると結局無理だった.)あと微分方程式やテイラー展開を使わずにオイラーの公式を導いた.複素数がテーマなので,行列版代数学の基本定理を示すことまでを目標とする.

複素数の定義

\(a,b\in<\mathbb>\) に対し, \[aE+bI\] をと呼ぶ.ただし, \(E\) は二次正方単位行列, \(I\) は \(2\) 乗すると \(-E\) になる行列の一つとする.ここでは簡単のため \[I= \begin 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end\] として考える.すなわち \[aE+bI= a\begin 1 & 0 \\ 0 & 1\\ \end+b \begin 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end =\begin a & -b \\ b & a \\ \end\] という“行列”を複素数と呼ぶことにするのである.

定義の由来

回転行列 \[R_=\begin[r] \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end\] を考える.いま \[-E=R_<\pi>\] より, \(2\) 乗すると \(-E\) になる行列として \[I=R_<\frac<\pi>>=\begin 0&-1\\ 1&0 \end\] を考えるのが自然であるような気がする.この方法で複素数を構成すると \[R_=E+I\] となり,複素数平面としてのイメージがしやすくなるという利点がある.

\(I\) と \(E\) が一次独立であるようにするため \[I=\begin 0&b\\ c&0 \end\] と仮におくと \[I^2=bcE\] より \(bc=-1\) でなければならない. \(b,c\in\mathbb\) として \[(b,c)=(1,-1),(-1,1)\] である.後者を \(I\) とおけば,前者は \(-I\) で表せる.この解釈においても \[I=\begin 0&-1\\ 1&0 \end\] である.

複素数の性質

以後複素数の集合を \(\mathbb\) と呼ぶことにする. \(\mathbb\in M_2\l(\mathbb\r)\) である.ここで \(M_2\l(\mathbb\r)\) は実二次正方行列の集合とした.複素数の加減乗法は行列のものを用いて定義する. \(\mathbb\) には乗法の単位元 デルタの定義 \(E\) ,零元 \(O\) , \(O\) でない元 \(A\) に対する逆元 \(A^\) の存在,乗法の可換性から \(\mathbb\) は体である.

\(\forall A,B\in \mathbb\ デルタの定義 デルタの定義 AB=BA\)

\(\sqrt=\sqrt\) を \(A\) の絶対値と呼ぶことにして,ここだけの記号として \(\l|A\r|\) ( \(\det A\) と区別することに注意)と表すことにする.

複素数の微分

行列の微分公式

オイラーの公式

写像 \(\exp : \mathbb \to \mathbb\) ;微分可能 を以下を満たす写像として定義する. 写像 \(\exp\) が存在しかつ一通りに定まる,すなわち \(\forall r,\theta \in \mathbb\) に対して \[\exp \l(rE+\theta I\r) =e^r \begin \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end =e^r R_=e^r \l(E\cos \theta +I\sin \theta \r)\] であることを示す.これは有名なオイラーの公式の行列表記である. (1)によって を示せば十分である.

その他の関数の拡張

複素数の積分

複素数の積分を以下で定義する. \[\int_^<> f\l(Z\r) \, dZ \equiv \lim_ \sum_^ f\l(Z_\r) \Delta Z_k\] ただし \(\Delta Z_k=Z_-Z_\) とする.

コーシーの積分定理

\[\oint_ f\l(Z\r) \, dZ=O\] コーシーの積分定理により積分の値が経路によらないことを示すことができる. 行列の置換積分を示したい.以降簡単のため複素数 \(A\) の逆行列を \(\drac\) のように簡略化して表すことにする.

コーシーの積分公式

\(Z=xE+yI+A,x=\cos \theta ,y=\sin \theta\) とパラメータ表示することで デルタの定義 \(C\) を中心 \(A\) の円周上の経路として \[\oint_^<> \l(Z-A\r) ^\, dZ=2\pi I\] がわかる.よって \[\oint_^<> f\l(Z\r) \l(Z-A\r) ^\, dZ = デルタの定義 \oint_ \left\< f\l(Z\r) -f\l(A\r) \right\>\l(Z-A\r) ^\, dZ+2\pi If\l(A\r)\] であり第一項は \(C\) の半径 \(\rho\) として \(C\) 上において \(\l|f\l(Z\r) -f\l(A\r) \r| <\e\) とすると \[\l|\oint_\left\< f\l(Z\r) -f\l(A\r) \right\>\l(Z-A\r) ^\, dZ\r| \leq \oint_ \drac\e \, dZ=2\pi \rho\drac\e=2\pi \e\] であり, \(\e \to 0\) で \(2\pi \e \to 0\) になるので示す等式が得られた.

デルタの定義

デルタ それは 4番目の文字ギリシャ語のアルファベット、後 アルファ, ベータ Y ガンマ。この手紙はに対応します D ラテンアルファベットで。大文字のデルタ文字の形状と類似しているため、 土地 それはの腕の中にあります その中で 河口.

例えば: 「私の祖父はパラナ川の三角州に家を持っています」, 「この川の三角州の動植物は非常に多様です」, 「ボートは素晴らしい1月の太陽の下でデルタを行き来しました」.

A 三角州したがって、それは、流れによって堆積された堆積物を介して河口に形成される三角形の領域です。デルタは、川自体によって運ばれる堆積物によって形成された島を分離する川の腕で構成されています。

A デルタウィング一方、エンジンなしで滑空飛行できる乗り物です。離着陸は徒歩で低速で行われます。

音楽の分野では、「デルタ」という名前を正確に受けているチリのロックバンドの存在を判断する必要があります。 2003年にその旅を開始し、「Apollyon is Free」、「Live At The Beginning」、「NewPhilosophyFeat」などのアルバムが際立つ幅広いディスコグラフィーを持っています。

デルタ それはまたによって造られたロケットの家族の名前です ボーイング。ロケット デルタの定義 デルタI でリリースされました 1960年8月、後で デルタII (1989)、 デルタIII (1998)および デルタIV (2001).

デルタ航空 に基づく航空会社です アトランタ (米国)、で設立されました 1928デルタ航空サービス。アライアンスの創設企業の1つです スカイチーム.

デルタ最後に、それはイタリアのメーカーによって設計された車のラインです ランチア.

速さとは何か?速度との違いって何?速さの定義式を一つ一つ分けて解説

力学

今回の例題

まずは、速さの定義式 \(\displaystyle v=\frac\)から確認していきましょう。

\(\Delta\)とは何か

\(\Delta\)は「デルタ」と読みます 。この文字は「 ○○の変化量 」を表しています。今回の場合、 \(\Delta s\)や \(\Delta t\)が登場していますね。このように \(\Delta\)とその直後につく文字をワンセットで考えます 。 例えば、 \(\Delta s\)であれば「\(s\)の変化量」 ですし、 \(\Delta t\)であれば「\(t\)の変化量」 です。「○○の変化量」は \((あと)-(まえ)\) で計算できます。

さいとう

あとは、経過時間\(\Delta t\)と移動距離\(\Delta s\)について考えていきましょう。

経過時間\(\Delta t\)とは何か

\(\Delta t\)は変化前から変化後までの経過時間 のことです。 変化前から変化後までの時刻(時間)の変化 ともいえます。

さいとう

時間・時刻とは何か

時間というのは、時の流れのことです。\(\Delta t\)のうちの\(t\)にあたります。目が覚めたら朝だった。しばらくしたら夜だった。という流れのことです。時間と時刻は基本的に同じ意味ですが使い方が違います。 時刻は点、時間は間(あいだ)です 。

経過時間とは何か

ある時点から経過した時間のことです。 経過時間は「○○の変化量」の計算方法で計算できます。 これについてを説明します。

さいとう

さいとう

結局\(\Delta t\)てなに?

\(\Delta t\)は変化前から変化後までの経過時間 のことです。変化前から変化後までの時刻(時間)の変化ともいえます。

さいとう

経過時間を計算してみる

\((1)\)時刻が\(t=2\,\rm\)から\(t=4\,\rm\)まで変化するとき、 変化前から変化後までの時刻の変化\(\Delta t\) はいくらですか。

移動距離\(\Delta s\)とは何か

移動距離とは、その物体がどれだけ動いたのかという変化を表す長さ のことです。 道のり とも呼ばれます。 \(\Delta s\)は変化前から変化後までの移動距離 のことです。 物体がまっすぐ進んでいる時は位置座標の変化と同じ ことです。

移動した距離??

この一連のことで、あなたは10000歩、歩いたとします。もし、買い忘れがなく、お店に戻ることもなく、まっすぐに家に帰ることができたなら、あなたは10000歩未満で往復できたはずですね。しかし、家からお店までの距離は変わりません。 物体がどれだけ動いたのかを長さで表したもの が 移動した距離 、つまり、「はじめ、家を出発してから再び家に帰ってくるまでにあなたがどれだけ動いたのかを表す長さ」ということです。

距離と移動距離は何が違うの?

距離とは長さ のことです。 「○○と△△の間の距離」 という言い方で表します。

さいとう

どこからのどこまでの移動距離?

位置座標とは何か

結局\(\Delta s\)てなに?

\(\Delta s\)は変化前から変化後までの移動距離 のことです。

さいとう

本当に、 変化の前後で何かの量を考えるのは物理では結構よくある ことなのです。

さいとう

いろいろと違いがありますが、そもそも、 移動距離はスカラー 、 変位はベクトル です。そして 、同じスカラーでも、 変位の大きさと移動距離も全くの別物 です!変化の仕方によっては同じ数値になることがありますので、間違えないようにしてください。

移動距離を計算してみる

\((2)\)時刻が\(t=2\,\rm\)から\(t=4\,\rm\)まで変化するとき、 変化前から変化後までの自動車の移動距離 はいくらですか。

速さとは何か

速さとは1秒あたりの移動距離(単位時間当たりの移動距離) のことです。また、 速さはスカラー量 です。(それに対して、 速度はベクトル量 です。)

速さの定義式の意味を考える

この式からわかるように、「変化前から変化後までの」つまり「同じ変化による」移動距離と経過時間を考えています。したがって「 時間\(\Delta t\)の間に\(\Delta s\)だけ物体が動いた 」ということになります。

さいとう

速さの定義式では\(\Delta s\)を\(\Delta t\)で割っています。これは、車が一定のペースで移動したとして 1秒の間にどれだけ物体が動いたのか を求めていることになります。

これで、速さの定義が 1秒当たりの移動距離 であることが分かりました。

速さはスカラー(速度はベクトル)

スカラー量とは大きさを持つ量 のことです。基本的に実数を用いて表されます。 ベクトル量とは大きさに加えて向き を持つ量のことです。符号や数の組で表されます。

さいとう

さいとう

さて、 スカラー同士で足したり引いたり掛けたり割ったりしてもスカラー です。

\(\Delta s\)はスカラーです よね? \(\Delta t\)もスカラーです よね?だから\(\Delta s\)を\(\Delta t\)で割って求まる量である、 速さもスカラー です。

さいとう

複素数の導入に含まれる問題

虚数単位 \(i\) は通常二次方程式 \[\label x^2+1=0\] の相異なる \(2\) 解の \(1\) つとして定義され,複素数は \(1\) と \(i\) の線型結合として定義される.しかし,そもそも「解」というのは何かということが問題になってくる.「複素数」というくらいだから数でなければならないはずであるが複素数を「知らない」段階では数とは当然実数のことである.とすれば,虚数単位 \(i\) を「 \(2\) 乗すると \(-1\) になる‘実数’」として定義してしまっていることになっているのではないか.(そのような実数など存在しない.)このままでは虚数を用いて証明される実数の性質(恒等式など)であっても「虚数は存在しない」という一言で否定することができてしまうような気さえする.

今回は本問題を解決するため,[虚数]を二次正方行列の行列方程式 \[X^2+E=0\] と読み替え,( \(E\) は単位行列とした.)解の一つとして虚数単位を定義する立場から複素数の諸性質と複素関数の微分積分を考えることにする.ついでにコーシーの積分定理の証明(グリーンの定理や微小三角形を用いるもの)にも不満があって書いている途中にパラメータ積分として証明できることをたまたま思いついたのでその証明も残した.(が,よく考えると結局無理だった.)あと微分方程式やテイラー展開を使わずにオイラーの公式を導いた.複素数がテーマなので,行列版代数学の基本定理を示すことまでを目標とする.

複素数の定義

\(a,b\in<\mathbb>\) に対し, \[aE+bI\] をと呼ぶ.ただし, \(E\) は二次正方単位行列, \(I\) は \(2\) 乗すると \(-E\) になる行列の一つとする.ここでは簡単のため \[I= \begin 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end\] として考える.すなわち \[aE+bI= a\begin 1 & 0 \\ 0 & 1\\ \end+b \begin 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end =\begin a & -b \\ b & a \\ デルタの定義 デルタの定義 \end\] という“行列”を複素数と呼ぶことにするのである.

定義の由来

回転行列 \[R_=\begin[r] \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end\] を考える.いま \[-E=R_<\pi>\] より, \(2\) 乗すると \(-E\) になる行列として デルタの定義 \[I=R_<\frac<\pi>>=\begin 0&-1\\ 1&0 \end\] を考えるのが自然であるような気がする.この方法で複素数を構成すると \[R_=E+I\] となり,複素数平面としてのイメージがしやすくなるという利点がある.

\(I\) と \(E\) が一次独立であるようにするため \[I=\begin 0&b\\ c&0 \end\] と仮におくと \[I^2=bcE\] より \(bc=-1\) でなければならない. \(b,c\in\mathbb\) として \[(b,c)=(1,-1),(-1,1)\] である.後者を \(I\) とおけば,前者は \(-I\) で表せる.この解釈においても \[I=\begin 0&-1\\ 1&0 \end\] デルタの定義 である.

複素数の性質

以後複素数の集合を \(\mathbb\) と呼ぶことにする. \(\mathbb\in M_2\l(\mathbb\r)\) である.ここで \(M_2\l(\mathbb\r)\) は実二次正方行列の集合とした.複素数の加減乗法は行列のものを用いて定義する. \(\mathbb\) には乗法の単位元 \(E\) ,零元 \(デルタの定義 O\) , \(O\) でない元 \(A\) に対する逆元 \(A^\) の存在,乗法の可換性から \(\mathbb\) は体である.

\(\forall A,B\in \mathbb\ AB=BA\)

\(\sqrt=\sqrt\) を \(A\) の絶対値と呼ぶことにして,ここだけの記号として \(\l|A\r|\) ( \(\det A\) と区別することに注意)と表すことにする.

複素数の微分

行列の微分公式

オイラーの公式

写像 \(\exp : \mathbb \to \mathbb\) ;微分可能 を以下を満たす写像として定義する. 写像 \(\exp\) が存在しかつ一通りに定まる,すなわち デルタの定義 \(\forall r,\theta \in \mathbb\) に対して \[\exp \l(rE+\theta I\r) =e^r \begin \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end =e^r R_=e^r \l(E\cos \theta +I\sin \theta \r)\] であることを示す.これは有名なオイラーの公式の行列表記である. (1)によって を示せば十分である.

その他の関数の拡張

複素数の積分

複素数の積分を以下で定義する. \[\int_^<> f\l(Z\r) \, dZ \equiv \lim_ \sum_^ f\l(Z_\r) \Delta Z_k\] ただし \(\Delta Z_k=Z_-Z_\) とする.

コーシーの積分定理

\[\oint_ デルタの定義 f\l(Z\r) \, dZ=O\] コーシーの積分定理により積分の値が経路によらないことを示すことができる. 行列の置換積分を示したい.以降簡単のため複素数 \(A\) の逆行列を \(\drac\) のように簡略化して表すことにする.

コーシーの積分公式

\(Z=xE+yI+A,x=\cos \theta ,y=\sin \theta\) とパラメータ表示することで \(C\) を中心 \(A\) の円周上の経路として \[\oint_^<> \l(Z-A\r) ^\, dZ=2\pi I\] がわかる.よって \[\oint_^<> f\l(Z\r) \l(Z-A\r) ^\, dZ = \oint_ \left\< f\l(Z\r) -f\l(A\r) \right\>\l(Z-A\r) ^\, dZ+2\pi If\l(A\r)\] であり第一項は \(C\) の半径 \(\rho\) として \(C\) 上において \(\l|f\l(Z\r) -f\l(A\r) \r| <\e\) とすると \[\l|\oint_\left\< f\l(Z\r) -f\l(A\r) \right\>\l(Z-A\r) デルタの定義 デルタの定義 ^\, dZ\r| \leq \oint_ \drac\e \, dZ=2\pi \rho\drac\e=2\pi \e\] であり, \(デルタの定義 \e \to 0\) で \(2\pi \e \to 0\) になるので示す等式が得られた.

三相変圧器接続(デルタ - デルタ、ワイ - ワイ、デルタ - ワイおよびワイ - デルタ)の簡単な理解

図1に示すように、デルタ - デルタトランスがよく使用されます。 主に三相であるが小さな単相成分を持つ可能性がある負荷に供給するため.

デルタデルタトランス

図1 - デルタ - デルタトランス

図2は、デルタ - デルタトランス接続を示しています。

デルタ - デルタトランス接続

図2 - デルタ - デルタトランス接続(クリックして図を拡大)

左側の接続図は、デルタ - デルタ接続の確立方法を示しています。 3つの単相変圧器または1つの三相変圧器を使って.

単相トランスのブッシングは図のように外部ジャンパで接続されているため、デルタ - デルタ接続が可能です。 1つの三相変圧器の実装の場合、3つの内側の輪郭は無視され、巻線間のジャンパは変圧器タンクの内側に作られます。三相変圧器の外形上の6つのブッシングは接続に利用できます。

右下のフェーザー図は、 高電圧回路と低電圧回路の電流の幾何学的関係そして、一番下の中央の方程式はそれらの関係を数学的に示しています。

デルタ - デルタの定義 デルタトランスの負荷が不均衡になると、大電流がデルタ巻線を循環して電圧の不均衡を引き起こす可能性があります。バランスロードには 等しい電圧比と同じインピーダンスを持つ3つのトランスの選択.

2.ワイ - ワイ

図3に示すように、Y-Y変換器は 三相および単相負荷。 単相負荷は、3つの各相間でできるだけ均等に分散させる必要があります。

ワイ - ワイトランス

ワイ - ワイトランス接続図

図4 - ワイ - ワイトランス接続図(クリックして図を拡大)

ワイ - ワイトランスに固有の問題の1つは、 3次高調波電流および電圧の伝播。これらの高調波は近くの通信回路やその他のさまざまな電力品質の問題で干渉を引き起こす可能性があります。

もう一つの問題は可能性がのためにあるということです 発生する共鳴 回路のシャント容量間特に回路に絶縁ケーブルが含まれている場合は、トランスとトランスの磁化サセプタンスに接続します。これらの問題のために、ワイ - ワイ変換器は慎重に指定されそして実行されなければならない。

3.デルタワイ

デルタ - ワイ接続が最も一般的に使用されています 三相トランス接続。 Y線接続の2次側では、4線式デルタ2次側のように1つの巻線にすべて配置するのではなく、単相負荷を3相に分散させて中性にすることができます。

また、デルタワイトランスは図5の位相記号からわかるように、一次側から二次側への30°の位相シフトは、位相シフトを生じないデルタ - デルタおよびワイ - ワイ変換器と並列にすることはできません。

デルタワイトランス

デルタワイトランス接続

デルタ巻線とワイ巻線

解析は、すべての線電流と相電流をラベル付けすることから始まります。これを図8に示します。

デルタの定義 電流を表示したデルタワイトランス

図8 - 電流を表示したデルタ - ワイトランス

小文字の添え字は行を示します。低電圧回路の電流、大文字の添え字は高電圧回路のライン電流を示します。低電圧回路では、相電流は対応するライン電流と同一であるため、それらもラベル付けされます。 ある、 私b、 そして私c。トランス巻線が引かれるとき、特定の高電圧巻線はそれに平行に引かれる低電圧巻線に対応します。

に対応する高電圧相電流 ある ラベル付き a 'デルタの定義 。の方向 a ' の相対的 ある ドット表記規則を守る必要があります。の大きさ a ' に関連して ある の逆数です。 トランスの巻数比“ n”または

Ia 'の大きさ

ユニット単位で変圧器を解析する場合、 n = 1 だからそれはになります:

上記の式は、 低電圧回路ライン電流の観点から高電圧回路ライン電流。この時点で、Iの代わりに数値を使用できます。ある、 私b、 そして私c. 念頭に置いて私はある、 私b、 そして私c バランスの取れたフェーザーのセットを表しますを表すために、単位あたりの任意の値が選択されます。 a-b-cフェーズシーケンス

バランスの取れたフェザーセット

代入式式3に3。 2:

バランスの取れたフェザーセット

私を比較するある 私にA, √3の大きさの違いと30°の角度の違いは明白です.

IEEE規格C57.12。θは、フェーザ角度が一方の電気回路から他方の電気回路に変わる方向を定義します。標準のデルタ - ワイ(またはワイ - デルタ)トランスでは、高電圧側の正相電流および正電圧が低電圧側の正相電流および電圧より30°進んでいます。

高電圧フェーザが低電圧フェーザより遅れると、接続は標準外と見なされます。 電気的に接続する必要がある2つの異なるシステム上のフェーズを一致させるために非標準の接続が必要な場合がありますが、通常は標準の接続が指定されます。

標準的な接続を決定するための規約では、高電圧フェーザが低電圧フェーザよりも 30°。一次または二次については言及されていない。 トランスの一次巻線は、電圧が印加されている巻線です。二次巻線には誘導電圧が印加されます。

4.ワイデルタ

図9に示されているワイ - デルタトランスが時々使用されます。 3線式システムに中立を提供するだけでなく、その2次側からの負荷にも対応できます.

ワイデルタトランス

図9 - ワイ - デルタトランス

図10は、ワイ - デルタ接続を示しています。 3つの単相変圧器または単一の三相ユニットとして。ブッシングラベルと極性ドットの両方が表示されます.

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