外国為替取引を学ぶ

フィボナッチ数列の一般項

フィボナッチ数列の一般項
Programming

フィボナッチ数列の一般項を三つの方法で求めてみる

数列$\set$をフィボナッチ数列とします. すなわち $\set$で以下の条件で定められる数列です:

\[\begin u_1 = 1, \quad フィボナッチ数列の一般項 u_2 = 1, \\ u_ = u_n + u_. \end\]

\[\alpha + \beta = 1, \quad \alpha - \beta = \sqrt, \quad \alpha \beta = -1\]

特定方程式による解法

\[u_n = \lambda_1 \alpha^ + \lambda_2 \beta^\]

で与えられます. ただし, ここで $\lambda_1, \lambda_2$は適当な実数です.

\[\lambda_1 + \lambda_2 = 1\]

を得ます. また, $u_2 = 1$より

\[\lambda_1 \alpha + \lambda_2 \beta = 1\]

\[\begin u_n &= \lambda_1 \alpha^ + フィボナッチ数列の一般項 フィボナッチ数列の一般項 \lambda_2 \beta^ \\ &= \frac> \alpha^n - \frac>\beta^n \\ &= \frac> (\alpha^n - \beta^n) \end\]

行列による解法

\[\begin \det(\lambda E - A) &= フィボナッチ数列の一般項 \det \begin \lambda - 1 & -1 \\ -1 & \lambda フィボナッチ数列の一般項 \end \\ &= \lambda^2 - \lambda - 1 = (\lambda - \alpha)(\lambda - \beta) = 0 \end\]

となるので, $A$の固有値は $\alpha, \beta$となります.

それぞれについて計算すると, 固有値$\alpha$に対しては$(1, -\beta)$が, 固有値$\beta$に対しては$(1, -\alpha)$が固有ベクトルであることが分かります.

\[P = \begin 1 & 1 \\ -\beta & -\alpha \end\]

\[\begin A^n &= P \begin \alpha^n & \\ & \beta^n \end P ^ \\ &= \begin 1 & 1 \\ -\beta & -\alpha \end \begin \alpha^n & \\ & \beta^n \end\cdot \frac> \begin -\alpha & -1 \\ \beta & 1 \end \\ &= \frac> \begin \beta^ - \alpha^ & \beta^n - \alpha^n \\ \alpha^ \beta - \alpha \beta^ フィボナッチ数列の一般項 & \alpha^n \beta - \alpha \beta^n \end. \end\]

を得ます. ここで $\alpha\beta = -1$なので

\[\begin \begin x_ \\ x_ \end &= \frac1> \begin \alpha^ - \beta^ & \alpha^n - \beta^n \\ \alpha^n - \beta^n & \alpha^ - \beta^ \end \begin 1 \\ 1 \end \\ &= \frac1> フィボナッチ数列の一般項 \begin \alpha^ - \beta^ + \alpha^n - \beta^n \\ \alpha^n - \beta^n + \alpha^ - \beta^ \end \\ &= \frac1> \begin \alpha^ + \alpha^n - (\beta^ + \beta^n) \\ \alpha^n + \alpha^ - (\beta^n + \beta^) \end. \end\]

ここで $\alpha^2 = \alpha + 1$より

\[\alpha^ = \alpha^ + \alpha^n, \quad \alpha^ = \alpha^ + \alpha^\]

母関数による解法

関数$f(x) フィボナッチ数列の一般項 = u_1 + u_2x + u_3x^2 + \cdots$を考える. $xf(x) = フィボナッチ数列の一般項 u_1x + u_2x^2 + \cdots$を両辺に足すと

\[\begin (1 + x)f(x) &= u_1 + u_3x + u_4x^2 + \cdots \\ &= u_1 + \frac(u_3x^2 + u_4x^3 + \cdots) \\ &= u_1 + \frac1(f(x) - 1 - x) \\ &= \frac1(f(x) - 1). \end\]

\[\begin f(x) &= \frac1 <(1 - \alpha x)(1 - \beta x)>\\ &= \frac1\left(\frac1 - \frac1\right) \\ &= \frac1x>((1 + \alpha x + (\alpha x)^2 + \cdots) \\ & \quad - (1 + \beta x + (\beta x)^2 + \cdots )) \\ &= \frac1>((\alpha - \beta) + (\alpha^2 - \beta^2)x + (\alpha^3 - \beta^3)x^2 + \cdots ). \end\]

フィボナッチ数列の一般項を三つの方法で求めてみる

数列$\set$をフィボナッチ数列とします. すなわち $\set$で以下の条件で定められる数列です:

\[\begin u_1 = 1, \quad u_2 = 1, \\ u_ = u_n + u_. \end\]

\[\alpha + \beta = 1, \quad \alpha - \beta = フィボナッチ数列の一般項 \sqrt, \quad \alpha \beta = -1\]

特定方程式による解法

\[u_n = \lambda_1 \alpha^ + \lambda_2 \beta^\]

で与えられます. ただし, ここで $\lambda_1, \lambda_2$は適当な実数です.

\[\lambda_1 + \lambda_2 = 1\]

を得ます. また, $u_2 = 1$より

\[\lambda_1 \alpha + \lambda_2 \beta = 1\]

\[\begin u_n &= \lambda_1 \alpha^ + \lambda_2 \beta^ \\ &= \frac> \alpha^n - \frac>\beta^n \\ &= \frac> (\alpha^n - \beta^n) \end\]

行列による解法

\[\begin \det(\lambda E - A) &= \det \begin \lambda - 1 & -1 \\ -1 & \lambda \end \\ &= \lambda^2 - \lambda - 1 フィボナッチ数列の一般項 = (\lambda - \alpha)(\lambda - \beta) = 0 \end\]

となるので, $A$の固有値は $\alpha, \beta$となります.

それぞれについて計算すると, 固有値$\alpha$に対しては$(1, -\beta)$が, 固有値$\beta$に対しては$(1, -\alpha)$が固有ベクトルであることが分かります.

\[P = \begin 1 & 1 \\ -\beta & -\alpha \end\]

\[\begin A^n &= P \begin \alpha^n & \\ & \beta^n \end P ^ \\ &= \begin 1 & 1 \\ -\beta & -\alpha \end \begin \alpha^n & \\ & \beta^n \end\cdot \frac> \begin -\alpha & -1 \\ \beta & 1 \end \\ &= \frac> \begin \beta^ - \alpha^ & \beta^n - \alpha^n \\ \alpha^ \beta - \alpha \beta^ & \alpha^n \beta - \alpha \beta^n \end. \end\]

を得ます. ここで $\alpha\beta = -1$なので

\[\begin \begin x_ \\ x_ \end &= \frac1> \begin \alpha^ - \beta^ & \alpha^n - \beta^n \\ \alpha^n - \beta^n & \alpha^ - \beta^ \end \begin 1 \\ 1 \end \\ &= \frac1> \begin \alpha^ - \beta^ + \alpha^n - \beta^n \\ \alpha^n - \beta^n + \alpha^ - \beta^ \end \\ &= \frac1> \begin \alpha^ + \alpha^n - (\beta^ + \beta^n) \\ \alpha^n + \alpha^ - (\beta^n + \beta^) \end. \end\]

ここで $\alpha^2 = \alpha + 1$より

\[\alpha^ = \alpha^ + \alpha^n, \quad \alpha^ = \alpha^ フィボナッチ数列の一般項 + \alpha^\]

母関数による解法

関数$f(x) = u_1 + u_2x + u_3x^2 + \cdots$を考える. $xf(x) = u_1x + u_2x^2 + \cdots$を両辺に足すと

\[\begin (1 + x)f(x) &= u_1 + u_3x + u_4x^2 + \cdots \\ &= u_1 + \frac(u_3x^2 + u_4x^3 + \cdots) \\ &= フィボナッチ数列の一般項 フィボナッチ数列の一般項 u_1 + \frac1(f(x) - 1 - x) \\ &= \frac1(f(x) - 1). \end\]

\[\begin f(x) &= \frac1 <(1 - \alpha x)(1 - \beta x)>\\ &= \frac1\left(\frac1 - \frac1\right) \\ &= \frac1x>((1 + フィボナッチ数列の一般項 \alpha x + (\alpha x)^2 + \cdots) \\ & \quad フィボナッチ数列の一般項 - (1 + \beta x + (\beta x)^2 + \cdots )) フィボナッチ数列の一般項 \\ &= \frac1>((\alpha - \beta) + (\alpha^2 - \beta^2)x フィボナッチ数列の一般項 + (\alpha^3 - \beta^3)x^2 + \cdots ). \end\]

行列によるフィボナッチ数列の項の計算(1)

Programming

こんにちは、Reveです。
常日頃からネタに困っている技術担当です。
今日はどうしようか考えた挙句、プログラムの話になりました。
最近、ちょくちょく「CodeIQ」で問題を解いていたりしますが、
その中でフィボナッチ数列の演算問題が出てきたので、今回は当方のプログラムを載せてみたいと思います。
問題の回答期限はとっくに終了しているので、ネタバレみたいな記事になってもいいよね(・ω <)
【フィボナッチ数列とは】
詳しくは知らなくても、名前くらいは聞いたことがある人も多いでしょう。
イタリアの数学者レオナルド=フィリオ=ボナッチ(レオナルド・フィボナッチ)にちなんで名づけられた数列です(ちなみに、フィボナッチ本人が発見したのではなく、著書で紹介しただけだそうで。あと、本名はレオナルド・ダ・ピサ。へー)
この数列の定義は、 3項目以降のある項が前の2つの項の和 になるということで、
これを数式で表すと下のようになります。
なお、最初の2つの項は、それぞれ0, 1と与えられます。
F0 = 0
F1 = 1
Fn = Fn-1 + Fn-2 (n > 1)
面白い特徴として、項数が大きくなるほど、ある項とその前の項の比がいわゆる「 黄金比 」に近い比率となる性質を持ちます。

黄金比とは長方形の縦横の比で、ある長方形から短い辺の正方形を切り取った時に、残りの図形の縦横比が元の図形と同じになるような長方形のものを指します。
古代ヨーロッパでは最も美しい長方形の比率と考えられ、自然界にも数多く現れる(花びらの数、カタツムリの螺旋など)ことでも有名です。
【プログラミングでどうするか】
さて、一通り特徴を書いたところで、プログラムを使ってどのように解くかを見ていきましょう。
まず、10~100の位までの小さい項を求めるのであれば、数式の通りに求めていくのも良いでしょう。
1から計算させるより、

直前の計算結果を覚えておいてそれを次の計算結果に使用 したほうが処理が断然早くなります( 動的計画法 )。

ところがっ、CodeIQはそれを許してくれない!何故なら、数千万の位の項を求めさせられるから!!
そして、時間がかかるとタイムアウトするからぁ…残念.
計算量が多くて時間のかかる処理は、(たとえ正解にたどり着くとしても)受け付けてくれないんですね。
そのため、高速で処理できる方法を考えます。
フィボナッチ数列の一般項は次の数式で与えられるため、これを計算して整数部を導出する手段も考えられます。

問題は平方根を求める方法とその精度ですが、普通に数学用ライブラリや浮動小数点を使用して計算するには
計算時間はともかく、精度がだいぶ怪しい(100を超えるともう誤差が発生するようです)。
一応、複素数を扱うような形で計算できる( 有理数と無理数の計算に分けて、有理数の部分のみ求める )ようですが、当方は別の手段で求めることにしました。それが行列のべき乗算ッ….
【行列での求め方】
フィボナッチ数列を行列で表すと、以下のようになります。

つまり、, >の2次元行列をN回かければ、求めたい項の値が導出できるのです。
(行列に限らず)べき乗の計算は、普通に乗算すればN回の計算になりますが、少し工夫(この記事を参照)することでlogNのオーダーで求められるようになります。項の位が大きくなるほど効果は歴然と現れます。
【次回は】
と、プログラムまで解説すると長くなってしまうので、実装に関しては次回に持ち越します。次回の更新までに考えてみるのも良いかもしれません(当方の実装より良いものもできると思いますしorz)。
ではまた。
【参考】
こちらのサイトを参考にしました。
projectpn フィボナッチ数の高速計算 (http://www16.atwiki.jp/projectpn/pages/34.html)
TIM Labs フィボナッチ数列の一般項を計算する(※ただし有理数に限る) (http://labs.timedia.co.jp/2012/11/fibonacci-general-term-using-rational.html)
from scratch 動的計画法でフィボナッチ数列の計算を早くする (http://yosuke-furukawa.hatenablog.com/entry/20120120/1327056359)

fibonacci series #shorts #cprogramming

0 普段はただの地方公務員、いればです。 有名トレーダであるディナポリのFX手法「シングルペナトレーション」検証をアップしました。 【検証記録(限定公開)】 ➀(2010.4~2011.3) ②(2011.4~2012.3) ③(201.

【FX】フィボナッチリトレースメント・エキスパンション使い分け方とは?

0 ▼[email protected]を開設しました! 僕の[email protected]では検証でよかったシステムの共有などもしています。 ▼Twitterでリアルトレード成績を公開しています ▼チャンネル登録はこちらから ▼ブログでトレード成績も公開中! 仕事.

【1発逆転】フィボナッチ数列ベット法 ブラックジャック

0 【Twitter開設しましたので是非フォローしてください】 #ベラジョン#カジノ#ブラックジャック#ポーカー#ギャンブル#賭博#バカラ#競馬#パチンコ#スロット#オンラインカジノ#投資#CASINO#blackjack#gambl.

【初心者FX講座】「フィボナッチで丸分かり!押し目買いの極意!」【投資家プロジェクト億り人さとし】

さとしも使ってるおすすめ海外FX口座「XM」はコチラ [email protected]登録はコチラ FX完全攻略マニュアル 詳しい口座開設方法はコチラを参考にして下さい 仮想通貨は「GMOコイン」 アルトコインに特化した取引所「クリプトG.

フィボナッチ・リトレースメント205%の追加の方法について

騙されるな!フィボナッチを使った手法は全部ウソです 詐欺に注意!【バイナリー】

【エンジニア兼プロ投資家バサラ 公式LINE】 フィボナッチ数列の一般項 LINE登録で、以前有料で100名以上に配り大好評だった 『勝率90%!月収100万円が続出している手法』を 今だけ期間限定プレゼント!! LINEに登録後『有料級手法』とメッセージを.

【FX中級者】フィボナッチリトレースメントの正しい引き方と使い方

0 【FX中級者】 フィボナッチの引き方わかりますか!? 使い方わかりますか!? 私も良く1分足で引いたりして61.8%などにタッチして買ったらすぐに損切されたりしたことが あります! トレード時間軸を変えることによってフィボナッチの.

【投資図書館】FXリアルとトレード!超有効フィボナッチリトレースメントとは!?#投資図書館 #FX #リアルトレード

0 投資図書館では、FX・株式を中心とした投資の情報を発信しています。 投資をより身近に感じてもらえるように情報発信していきますので、チャンネル登録・高評価お願いします!!! 前回トレード → (28,152円) 今回+599円(28.フィボナッチ数列の一般項

【ゆっくり実況】フィボナッチ数列を使ったゲームがむず過ぎる!

【テクニカル分析】フィボナッチで見る日経平均株価

0 #マーケットニュース #日経平均株価 #フィボナッチ 金融市場の最先端で活躍している、資産運用のプロフェッショナル達が、注目度の高い旬なニュースを元に、株、FX、仮想通貨などの相場展望を初心者にもわかりやすくお伝えしています。 ■運.

【FXの基礎基本】超わかるフィボナッチリトレースメント【才能不要】 YouTube

【FX】これでトレード成績アップ!環境認識とフィボナッチを使った分析方法について

どうも、園田です。 プレゼント講義でお伝えしているフィボナッチで 結構間違ってる人や勘違いしている人がいたので 追加で動画のほうを撮りました。 フィボナッチ数列の一般項 他にもわからない点とかあればLINEで お気軽に送ってきてください。 質問が多いものは.

フィボナッチ数列について初項からn項までの和を一般形で表すとどうなりますか?

フィボナッチ数列の和は a[1] + a[2] + … + a[n] = a[n+2] - 1 となります。 フィボナッチ数列とは a[n+2] = a[n+1] + a[n] a[1] = a[2] = 1 より a[n] = a[n+2] - a[n+1] であるから ㅤ a[1] = a[3] ㅤ - a[2] ㅤ a[2] = a[4] ㅤ - a[3] +) a[n] = a[n+2] - a[n+1] ────────────── ㅤ S[n] = a[n+2] - a[2] a[2] = 1 であるから S[n] = a[n+2] - 1 となる。 ここでフィボナッチ数列の一般項は a[n] = 1/√5・<(1/2 + √5/2)ⁿ - (1/2 - √5/2)ⁿ} であるから S[n] = a[n+2] - 1 = 1/√5・<(1/2 + √5/2)ⁿ⁺² - (1/2 - √5/2)ⁿ⁺²} - 1 となります。 ※一般項の求め方は省略します。 http://wasan.hatenablog.com/entry/20110315/1300138196

その他の回答(1件)

性質4 フィボナッチの数列の一般項 ビネの公式 フィボナッチの数列のn番目の数はどうやって求めるのですかという質問がくることがあります。「きたか」と思います。「それはない(こともないが)」というと、9割がた「ふ~ん」とあきらめてくれますが、 「知らないんでしょ」なんていわれると実はこうだ。 これ以上簡単な形にはならない。これをビネ(J.P.M.Binet)の公式という」と書いてあげることもあります。 フィボナッチというのはあだなで本名は レオナルド・ダ・ピサ です。イタリア語ではレオナルド・ピサーノといいます。意味は「ピサ村のレオナルド」で、名前はありましたが苗字は村の名前を使いました。ピサはピサの斜塔で有名なピサ村です。ちなみに「レオナルド・ダ・ヴィンチ」も、「ヴィンチ村のレオナルド」という意味です。レオナルドという名前もめずらしい名前ではないので、同姓同名というか、同郷同名の人は多かったと思います。フィボナッチは生前には評価されなかったようです。単なる思いつきの数列と思われていたのでしょう。 ピサ出身の有名な科学者といえばガリレオ・ガリレイがいます。ガリレイが姓です。 一説によれば、ガリレオはガリレイの単数形で、イタリアでは長男に時々このような命名をするのだそうです。 http://www.geocities.jp/yoimondai/geo2/essei3.html#7

あわせて知りたい

F_nをフィボナッチ数列とするときΣ[n=0→∞]F_n/k^n=k/(k^2-k-1)になるという和の性質がありますが、これを証明して頂ける方おられましたらよろしくお願いいたします。

F_nをフィボナッチ数列とするときΣ[n=0→∞]F_n/k^n=k/(k^2-k-1)になるという和の性質がありますが、これを証明して頂ける方おられましたらよろしくお願いいたします。

[500枚] (1)フィボナッチ数列の一般項とn項までの和を求めよ (2)任意の自然数は連続しないフィボナッチ数列の和でただ一通りに表される事を示せ

[500枚] (1)フィボナッチ数列の一般項とn項までの和を求めよ (2)任意の自然数は連続しないフィボナッチ数列の和でただ一通りに表される事を示せ

リュカ数列の一般項はどのように求めるのでしょうか? 色々なサイトを見ているのですが、なかなか見つかりません(></p>
<p>_<) 回答お願いしますm(_ _)m

関連記事

よかったらシェアしてね!
  • URLをコピーしました!
  • URLをコピーしました!

コメント

コメントする

目次
閉じる